martedì 8 febbraio 2011

Le puntate. Il criterio di Kelly.

Per scommetere in maniera produttiva abbiamo bisogno di due informazioni: la probabilità di vittoria e il possibile guadagno.
Perchè? Prendiamo un caso molto semplice di scommesse a quota fissa. Immaginiamo di avere una moneta non truccata. Le probabilità che esca testa o croce sono esattamente le stesse:0.5. Adesso immaginiamo che la vittoria ci venga pagata a 2, ovvero viene pagato due volte lo stake. Una probabilità di 0.5
significa che su 100 lanci vinceremo circa 50 volte e perderemo circa 50 volte. Immaginiamo di puntare a ogni lancio 1 euro. Quindi su cento lanci
avremo una vittoria netta di 50 euro. Tuttavia perdermo circa le restanti 50 volte. Quindi al netto avremo 0 euro di guadagno. Questa è una fair bet. Ovvero nessuno vince o perde denaro sul lungo periodo. Ora immaginiamo invece che il bookmaker come abbiamo detto nel post precedente lasci che siano
i giocatori a determinare le quote, in base al meccanismo spiegato. Immaginiamo quindi adesso di avere le quote così suddivise:1.9 testa e 2.1 croce.
Conoscendo esattamente le probabilità dove ci conviene scommettere? Ovviamente il buon senso ci dice su croce e si dimostra abbastanza facilmente perché. Su 100 lanci vinceremo
circa 50 volte. Puntando ancora una volta 1 euro avremo un guadagno netto di 55 euro contando tutte le volte che esce croce e 50 euro di perdite sommando tutte le volte che esce testa. Quindi avremo fatto un utile di 5 euro. In caso contrario avremo una perdita di 5 euro.
Consideriamo, adesso, un caso controintuitivo. Immaginiamo di considerare una moneta truccata. Questa moneta ha lo 0.8 di probabilità di mostrarci una testa e 0.2 di probabilità di mostrarci una croce. Se la testa viene pagata a 1.2 e la croce viene pagata a a 5.1 su chi conviene scommettere? Facciamo i conti.
Una probabilità di 0.8 significa che su 100 lanci avremo circa 80 teste e 20 croci. Se puntiamo sulla testa (sempre 1 euro, non siamo Briatore) avremo una guadagno netto di 96-100=-4 euro, dove 96 è dato 80*1.2 e 100 è il denaro complessivo investito in 100 lanci. Cioè avremo perso 4 euro. Se invece puntiamo su croce avremo un guadagno netto 102-100=2 euro. Cioè sul lungo periodo è più conveniente puntare sulla croce anche se vince molte meno volte.
Quindi, estrapolando questo concetto, ai fini di un giocatore d'azzardo è inutile sapere che il Barcellona è la squadra di calcio più forte del mondo, bisogna sapere quanto è più forte delle altre e questo per poter valutare se sia conveniente scommettere a favore o contro. Estrapolando ancora, si vede immediatamente che giochi come il lotto, sono sfavorevoli allo scommettitore, perchè sul lungo periodo pagano meno del denaro complessivo investito.
Le scommesse a montepremi sono un po' più complicate e vedremo più in la perché.
La regola generale per sapere se una scommessa a quota fissa è favorevole o meno è data da p(a)*Q(a)=k(a), dove p(a) è la probabilità di verificarsi di a,
Q(a) è la quota e k(a) è la bontà della scommessa. Se k(a)>1 la scommessa è favorevole a chi punta. Se k(a)=1 è una fair bet, se k(a)<1 la scommessa è sfavorevole. Adesso si capisce anche perché le quote decimali sono le più comode da usare. Come possiamo formalizzare questo concetto? Immaginiamo di che il nostro capitale sia V0, che la nostra quota sia Q(a) e che la probabilità che si verifichi l'evento a sia P(a). Immaginiamo ora di investire una frazione f del nostro capitale V0 in questa scommessa. In caso di vittoria avremo al passo 1
ovvero il nostro capitale viene incrementato di una quantità (Q(a)-1)f V_0. In caso di sconfitta avremo che il nostro capitale al passo 1 sarà
Immaginiamo che la la nostra scommessa possa essere giocata N volte alle stesse condizioni. Allora avremo che in generale al passo N il nostro capitale sarà
dove W è il numero di volte che abbiamo vinto e L è il numero di volte che abbiamo perso. Se la probabilità dell'evento è p(a) avremo che in media W=p(a)N
mentre L=(1-p(a))N=q(a)N, allora possiamo scrivere
quindi possiamo immaginare che ad ogni scommessa ci sarà una variazione di capitale
allora la frazione di capitale da scommettere sarà quella che massimizza il guadagno medio
Questa si calcola facilmente applicando il logaritmo naturale ad ambo i lati derivando e imponendo che si auguale a 0. Quindi abbiamo
il risultato è
Questa è la famosa formula di Kelly e la massimizzazione del guadagno sul lungo periodo si chiama criterio di Kelly. Se f>0 allora la scommessa è vantaggiosa e bisogna comprare, se f=0 è una fair bet, se f<0 è svantaggiosa per chi punta, ma è vantaggiosa per chi vende. Quindi quando possibile bisogna vendere a quella quota quella determinata scommessa. E.g. se f=0.2 significa che bisogna investire lo 0.2 ( cioè il 20%) del nostro capitale in quella scommessa. Se fosse stato -0.2 avremmo dovuto vendere il 20% del nostro capitale a quella quota. Esiste, tuttavia, una ragione molto buona per non puntare mai la quota esatta di kelly. Infatti come detto le probabilità devono essere considerate come vere e proprio quantità fisiche e quindi non sono mai conosciute con esattezza (a parte rari casi) e quindi è sempre preferibile puntare una frazione del valore di Kelly. Il perché è abbastanza intuitivo: puntare troppo forte aumenta enormemente le nostre possibilità di rovina. E.g. consideriamo ancora una volta l'esempio della moneta truccata. Puntare tutto ad ogni colpo su testa è la maniera più rapida in assoluto per perdere tutto. Questo si può vedere anche matematicamente. Per f troppo grandi il guadango medio G(f) diventa negativo. Tecnicamente vendere una scommesa si dice bancare o laying (puntare si definisce anche backing) e al momento in Italia è vietato. Esiste, alla luce di quanto detto fino adesso, una maniera di simulare una bancata con sole puntate? Vediamo cosa ci dice il criterio di Kelly. Consideriamo il caso semplice di una semplice scommessa di calcio sul 1,x,2. De finiamo p(1),p(x) e p(2) le rispettive probabilità dei risultati. Q(1),Q(x) e Q(2) le quote. Immaginiamo adesso che il criterio di Kelly ci abbia appena fatto sapere che scommettere sul 2 è svantaggioso. Come dovremmo ripartire le puntate f1 e fx (frazine sull'1 e frazione sull'x) sul 1 e sul x? Seguendo il criterio di kelly abbiamo 3 casi possibili. Il primo caso è che esca l'1, quindi considerando solo questo avremo un incremento medio
se esce l'x, cioè il secondo caso, avremo

e se esce il 2 (terzo caso) avremo

Quindi nel caso generale avremo
Allora secondo il criterio di Kelly è necessario massimizzare la quantità G rispetto a f1 e fx. La soluzione è piuttosto semplice ed è
dove a=Q(1)-1 e b=Q(x)-1. Quindi generalizzando per calcolare un caso generico seondo il criterio di Kelly, bisogna calcolare tutti casi possibili e poi massimizzarne il prodotto.
Ok anche per questo post credo che sia abbastanza a presto :)

Referenze:

Kelly, J.L. Jr. "A New Interpretation of Information Rate," Bell Systems Technical Journal, 35, (1956), 917-926 [pdf format; 101k]
 
Thorp, E.O. "The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market," Paper presented at: The 10th International Conference on Gambling and Risk Taking, Montreal, June 1997; revised May 29, 1998

giovedì 20 gennaio 2011

Le quote.

Bhe, cominciamo dall'inizio. Che cos'è una scommessa? Una scommessa è un accordo, stipulato tra due parti, sullo scambio di denaro in base all' esito di un evento il cui risultato è incerto. L'universo delle scommesse si può dividere in due grandi insiemi: le scommesse a totalizzatore e le scommesse a quota fissa. Le scommesse a totalizzatore sono tutte quelle il cui premio finale in denaro è deciso in base al volume totale di soldi investiti in quell'evento. E.g. il super enalotto, totocalcio etc etc. Le scommesse a quota fissa sono tutte quelle il cui premio finale in denaro dipende dal volume di soldi investito da voi, moltiplicato per un fattore detto quota. Il volume di soldi investito in una scommessa si chiama di solito stake. Il premio finale in soldi nelle scommesse a totalizzatore si chiama di solito jackpot. Le quote vengono definite odds. Come viene deciso il jackpot? immaginiamo che il volume totale (cioè di tutti i giocatori) di denaro investito nel super enalotto sia di 10 milioni di euro. Una parte di questo denaro viene sottratto come imposta, detta hedge. Immaginiamo che l'hedge sia al 50% (si lo so lo stato italiano è piuttosto avido) quindi, indipendentemente dalla probabilità di vittoria, il premio finale che si aggiudicherà il vincitore sarà di 5 milioni di euro. Altra musica per le scommesse a quota fissa. Immaginiamo che p(a) sia la probabilità di un evento, allora viene definità fair odds Q(a), l'inverso della probabilità

Come dice la parola stessa (fair) questa è la quota nel caso ideale, cioè nel caso in cui, il bookmaker (cioè colui che vende la quota) non applichi nessun hedge. Generalmente i bookmaker non vendono quote per beneficenza e quindi la quota reale è definita come

La variabile delta è definita hedge nominale. Quindi il bookmaker calcola tutte le probabilità di un possibile risultato e di conseguenza calcola le quote? Qui inizia la parte interessante del gioco d'azzardo. Il calcolo delle probabilità è uno dei rami più ostici della matematica (lo vedremo meglio in seguito), quindi la probabilità reale di un evento, a parte rarissimi casi come i giochi di carte e estrazioni varie, è sconosciuta o è conosciuta entro una certa approssimazione. Come vengono definite le quote allora? Immaginiamo un evento con solo due possibili risultati a,b. Ad esempio uno partita di tennis. Definiamo il volume totale dei soldi in quella giocata come V0. Va lo definiamo come il volume di soldi totale investiti nel risultato a e di conseguenza Vb sarà il volume di soldi totale nel risultato b. Allora V0=Va+Vb. La quote vengono definite come

Quindi da questa definizione si vede che se il risultato finale è a, i soldi investiti in b verranno usati per pagare i vincenti su a. Al contrario i soldi di a verranno usati per pagari i vincenti su b. Ok? Questo nel caso che il bookmaker sia un filantropo. Nella realtà i bookmaker trattengono per se una parte come gia detto, quindi le quote reali vengono definite come

Questo significa che indpendentemente dall'esito di un evento il bookmaker ha guadagnato una frazione delta sul volume totale di denaro. Ma come fanno i bookmaker a sapere in anticipo come si direzioneranno i flussi di denaro? Infatti non lo sanno. Le quotazioni vengono aggiorante di continuo proprio per questo motivo. Quindi partono da una quotazione che più o meno rispecchia il senso comune, cioè quota più bassa all'evento più probabile, poi lasciano che il mercato si regoli da solo. Questo modo di definire le quote quindi permette il distacco totale del bookmaker dall'andamento del mercato. Quindi nella realtà le scommesse a quota fissa non sono altro che scommesse al totalizzatore mascherate.
Gli anglosassani (tanto per cambiare) usano un modo differente di definire la quota. Definito p(a) come la probabilità di successo di un evento e q(a) la probabilità di insuccesso di un evento, la quota Q(a) viene definita come

Questo modo di definire le quote, viene anche detto quota efficace. Vediamo perchè. Quando noi effettuiamo una puntata diamo una quantità di denaro Vp di anticipo al bookmaker come conferma della nostra volontà di scommettere su quell'evento. Nel caso di vittoria dell'evento a quindi noi riceveremo, nel sistema "decimale" una quantità di denaro Vw

poichè abbiamo già dato Vp al bookmaker l'incremento effettivo di capitale è

quindi abbiamo che

La quota anglosassone, allora, rispecchia la frazione di incremento di capitale in caso di vittoria.
I bookmaker asiatici e statiunitensi definiscono le quote in maniera ancora differente, ma personalmente le considero poco pratiche e di scarso interesse matematico. Chi vuol saperne di più sull'argomento può dare una sbirciata quà.


Ok penso che come primo post possa bastare. A presto.

Referenze:

Edward O. Thorp, The Mathematics of Gambling, 1984, ISBN 0-89746-019-7

Sidney, C (2003). The Art of Legging: The History Theory and Practice of Bookmaking on the English Turf, 3rd edition, Rotex Publishing 2003, 224pp. 13-digit ISBN 9781872254067 10-digit ISBN 1872254063.

Mathematics of bookmaking on wikipedia.